1. מבוא ומוטיבציה
למה אנחנו כאן?
למה זה חשוב?
הסתברות היא הבסיס למדעי הנתונים, רפואה, כלכלה, בינה מלאכותית ועוד. זהו "שער הכניסה" לקורסים מתקדמים כמו סטטיסטיקה ותהליכים סטוכסטיים.
זהו מקצוע הדורש תרגול רב. המלצה חמה: לקרוא פתרונות, לתרגל ולחזור על החומר באופן שוטף.
2. מושגים יסודיים
השפה של ההסתברות
הגדרה: ניסוי מקרי (Random Experiment)
פעולה שתוצאתה אינה ודאית וידועה מראש.
דוגמה: דוגמאות לניסויים
הטלת מטבע, הטלת קובייה, בחירת סטודנט אקראי מהכיתה, מדידת משקל בדיוק אינסופי.
הגדרה: מרחב המדגם (Sample Space) - $\Omega$
אוסף (קבוצה) של כל התוצאות האפשריות של הניסוי.
מרחב סופי (בדיד):
הטלת מטבע: $\Omega = \{H, T\}$
הטלת קובייה: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
הטלת מטבע: $\Omega = \{H, T\}$
הטלת קובייה: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
מרחב אינסופי (רציף/בדיד):
הטלת מטבע עד "עץ": $\Omega = \{H, TH, TTH, \dots\}$
מדידת משקל: $\Omega = [0, \infty)$
הטלת מטבע עד "עץ": $\Omega = \{H, TH, TTH, \dots\}$
מדידת משקל: $\Omega = [0, \infty)$
3. מאורעות (Events)
תת-קבוצות של המרחב
הגדרה: מאורע
תת-קבוצה של מרחב המדגם. מסומן בדרך כלל באותיות גדולות (A, B).
מאורע מתרחש אם תוצאת הניסוי היא איבר השייך לקבוצה זו.
מאורע מתרחש אם תוצאת הניסוי היא איבר השייך לקבוצה זו.
דוגמה: מאורע בהטלת קובייה
אם $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$
מאורע A (תוצאה זוגית): $A = \{2, 4, 6\}$
מאורע פשוט (איבר יחיד): $D = \{1\}$
מאורע A (תוצאה זוגית): $A = \{2, 4, 6\}$
מאורע פשוט (איבר יחיד): $D = \{1\}$
יחסי הכלה: מאורע $A$ מוכל ב-$B$ ($A \subseteq B$) אם כל איבר ב-A נמצא גם ב-B.
4. אלגברה של מאורעות
פעולות על קבוצות
איחוד (Union) $A \cup B$
מאורע המכיל איברים השייכים ל-A או ל-B (או לשניהם).
חיתוך (Intersection) $A \cap B$
מאורע המכיל איברים השייכים גם ל-A וגם ל-B.
הערה: אם $A \cap B = \emptyset$, המאורעות נקראים זרים (Disjoint).
משלים (Complement) $\overline{A}$
כל האיברים ב-$\Omega$ שלא נמצאים ב-A.
חוקי דה-מורגן (De Morgan):
- $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
- $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
הגדרה: עקרון ההכלה וההדחה (ל-2 קבוצות)
כדי לחשב גודל של איחוד, מחברים את הגדלים ומחסרים את החיתוך (כדי לא לספור כפול).
$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$
מחשבון עקרון ההכלה וההדחה
מספר הסטודנטים שעברו לפחות מבחן אחד:
|A ∪ B| = 20 + 30 - 5 = 45
5. פונקציית ההסתברות
P(A)
למה זה חשוב?
המטרה: להתאים לכל מאורע מספר המייצג את הסיכוי להתרחשותו.
הגדרה: אקסיומות קולמוגורוב
- $P(\Omega) = 1$ (הסתברות של ודאות).
- לכל מאורע A: $0 \le P(A) \le 1$.
- למאורעות זרים: $P(A \cup B \cup \dots) = \sum P(A_i)$ (אדיטיביות).
מרחב הסתברות סימטרי
כאשר מרחב המדגם סופי ולכל מאורע פשוט סיכוי שווה (כמו קובייה הוגנת), ההסתברות היא פשוט יחס הגדלים:
$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$
דוגמה: הטלת 2 מטבעות
מרחב המדגם: $\Omega = \{HH, HT, TH, TT\}$ (גודל 4).
המאורע "לקבל שני ראשים": $A = \{HH\}$ (גודל 1).
ההסתברות: $P(A) = 1/4$.
המאורע "לקבל שני ראשים": $A = \{HH\}$ (גודל 1).
ההסתברות: $P(A) = 1/4$.
מילון מושגים
- ניסוי מקרי
- תהליך עם תוצאה לא ודאית.
- מרחב המדגם ($\Omega$)
- קבוצת כל התוצאות האפשריות.
- מאורע
- תת-קבוצה של מרחב המדגם.
- מאורעות זרים
- מאורעות שהחיתוך שלהם ריק (אין להם איברים משותפים).
- מרחב סימטרי
- מרחב שבו לכל התוצאות הסתברות שווה.
שאלות חזרה
1. מהו גודל מרחב המדגם בהטלת קובייה פעמיים?
2. אם A ו-B זרים, מהו החיתוך שלהם?
3. מהי ההסתברות לקבל ״עץ״ במטבע הוגן?